viernes, 15 de octubre de 2010

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Método general para construir un polígono regular cualquiera dada la circunferencia en la que se inscribe:
Dada la circunferencia verde de diámetro ED, hacemos un arco con centro en E y con radio DE. Hacemos otro arco con centro en D y el mismo radio DE. La intersección de ambos arcos determina el punto C.
Dividimos el diámetro en el número de lados que va a tener el polígono, en este caso 9 y trazamos desde el punto C una recta que pase por el punto 2. La intersección de esta recta azul con la circunferencia verde nos determina el lado del eneágono, que va desde ese punto a D. A partir de aquí basta con repetir esa medida del lado a través de toda la circunferencia.


Para dividir el diámetro en 9 partes iguales, proyectamos una recta incidente en A de 9 cm sobre el diámetro dado. Unimos el punto 9 con el extremo del diámetro y por el punto 2 hacemos una recta con la misma dirección, donde corte al diámetro vertical es el punto cuya división es 2/9, o sea 2 unidades de 9.

Método general dado el lado AB:
Para construir un polígono regular dado el lado hacemos uno cualquiera a partir del método anterior y lo escalamos de la siguiente forma: sobre el lado AC del polígono que hemos construido colocamos el lado AB que nos dan. Por el punto B hacemos una vertical hasta que corte a la prolongación de la recta OC. Obtenemos así el punto B’ y el radio de la nueva circunferencia roja que contiene al polígono de lado AB buscado.

Triángulo dada la circunferencia:
Con el radio de la circunferencia dada desde A (intersección de la vertical con la circunferencia) y en ambos sentidos se hace un arco obteniendo B y C. El otro punto es la otra intersección con la vertical.


Dada la altura:
Centro en A y una circunferencia de radio aleatorio. Trazamos una horizontal por A y en los puntos de corte con la circunferencia hacemos otras 2 de igual tamaño. Los puntos de intersección BC determinan al unirlos con A los lados. Prolongamos AB y AC y donde corten a la horizontal trazada por el punto base de la altura obtenemos los otros dos puntos del triángulo.


Dado el lado MO:
Hacemos centro en M y en O con la longitud del lado. En la intersección de las circunferencias está el otro lado B

Cuadrado dada la circunferencia:
Se traza un diámetro AB. Por el punto medio se dibuja una perpendicular, sus intersecciones D y C con la circunferencia son los otros puntos del cuadrado.


Dado el lado BA:
Se traza una perpendicular a BA. Con centro en A y radio AB se hace un arco, donde corta a la perpendicular es otro punto del cuadrado D. Con centro en B y radio BA y con centro en D y radio BA, obtenemos dos arcos cuya intersección es C.


Pentágono
Dada la circunferencia roja de radio OA:
En el punto medio D del radio XO de la circunferencia dada hacemos una circunferencia ocre con el radio DA y de centro D. En la intersección de la circunferencia con la horizontal obtenemos M. Hacemos una circunferencia con centro en A y radio AM y donde corta a la dada en B y C, unimos estos puntos con A y tenemos dos lados del pentágono. Con ese radio y centro en B y C obtenemos los otros dos puntos,


Pentágono dado el lado AO:
Con centro en O y radio OA hacemos un arco hasta que corta a la vertical por O en T. Con centro en C radio CT hacemos otro arco asta que corta en M a la prolongación de AO. Con centro en A y radio AM hacemos un arco, donde corta a la vertical por C y donde corta al radio OT de centro O obtenemos 2 puntos del pentágono. Del último hacemos el simétrico respecto a CV y obtenemos el último punto del pentágono.
AM y AO están en proporción áurea, esto es el lado y la diagonal del pentágono.

Hexágono dada la circunferencia circunscrita.
Se parte de un punto cualquiera A situado en la circunferencia. Con centro en el punto A y el radio de la circunferencia, hacemos una circunferencia que corta a ésta en B F. En estos puntos hacemos lo mismo y obtenemos los demás puntos.



Hexágono dado el lado.
Con centro en el punto A y con centro en el punto B, extremos del lado dado AB y con el radio AB, se trazan 2 circunferencias que se cortan en el punto O, centro de la circunferencia circunscrita al hexágono. Con centro en el punto O y radio OA se traza una circunferencia que corta a los dos arcos anteriores en los puntos C D, que son vértices del hexágono. Con centro en C D y radio OA se determinan sobre la circunferencia circunscrita los vértices que completan el hexágono.


Construcción del polígono de siete lados (heptágono) dado el radio de la circunferencia circunscrita. Se traza el diámetro vertical y haciendo centro en el punto de corte con la circunferencia N, y con el radio de la circunferencia dada hacemos la circunferencia azul que corta a la amarilla en dos puntos, la mitad de este segmento es la distancia PM. La distancia del punto P al punto M es el lado del heptágono que se debe tomar sobre la circunferencia para construirlo.

Construcción del heptágono regular dado el lado. Nos dan el lado OT y hacemos centro en el punto T con la distancia OT. Este arco corta a la prolongación de OT en el punto V. Hacemos centro en el punto O con la distancia OV que corta a la vertical por T en N. Hacemos la bisectriz de las líneas OV ON y donde esta recta bisectriz corte a la circunferencia roja tenemos un punto de intersección, la distancia de ese punto al centro O es el radio de la circunferencia que inscribe al heptágono. Una vez que tenemos el radio hacemos dos arcos con centro en los puntos O T, donde se corten los arcos tenemos el centro de la circunferencia amarilla por la que tomamos el lado sucesivamente siete veces sobre la misma.



Construcción del octógono regular conocido el radio de la circunferencia circunscrita.
Se trazan los diámetros horizontal y vertical y se hace la bisectriz de ambos, donde esta bisectriz corte a la circunferencia en M tenemos de la distancia de este punto al punto N, intersección del eje vertical con la circunferencia, es el lado del octógono.
Construcción del octógono regular dado el lado. Se traza una circunferencia cuyo diámetro sea el lado, corta a la vertical por el centro del lado en el punto P, se hace centro en este punto tomando como radio la distancia de él al extremo del lado dado, de esta forma hacemos la circunferencia roja que intercepta a la vertical en el centro de la circunferencia que inscribe al polígono. A partir de aquí se va tomando la medida del lado por la circunferencia.

Construcción del eneágono dado el radio de la circunferencia circunscrita. Se hace en los ejes ortogonales y donde la vertical corta a la circunferencia dada (en el punto Q) hacemos centro con el radio de la misma, de esta forma hacemos el arco amarillo que corta a la circunferencia dada en el punto R. Haciendo centro en el punto diametralmente opuesto de Q sobre la circunferencia, hacemos la circunferencia azul empezando el arco a partir del punto R hasta que corta al diámetro horizontal en el punto S. Haciendo centro en el punto S y tomando como radio la distancia SQ hacemos el arco rojo hasta que corta al diámetro horizontal en el punto N. Tomando centro en el punto P, intersección del diámetro horizontal con la circunferencia dada, y con la distancia PN hacemos el arco verde que corta a la circunferencia dada en un punto que, desde él hasta el punto P determina el lado del polígono.

Construcción del eneágono dado el lado. Nos dan el lado QO, pinchamos en esos dos puntos tomando como radio la medida del lado y construimos la circunferencia azul y amarilla. La intersección de las dos circunferencias determina el punto C. Tomamos la mitad de la longitud del segmento QO y la trasladamos hasta el punto C. Haciendo centro en el punto C y tomando como radio la mitad del segmento QO, hacemos un arco que corta a la vertical en el punto P.
P es el centro de la circunferencia en la que está inscrito el eneágono, tomamos la longitud del lado dado, y lo vamos pasando por la circunferencia.


Construcción del decágono regular dado el lado. Construimos el pentágono regular dado el lado por el método ya explicado. Hacemos la circunferencia circunscrita al mismo y las mediatrices en cada lado del pentágono regular. Donde estas mediatrices cortan a la circunferencia circunscrita, tenemos los puntos que, sumados a los del pentágono, nos determinan los vértices del decágono regular.

Construcción del decágono dado el radio de la circunferencia circunscrita.
Construimos sobre el semidiámetro vertical una circunferencia tangente a la dada en el punto M y que pase por el centro O de la misma. Unimos el centro de esta circunferencia P, con el punto T. La intersección del segmento PT con la circunferencia de centro P nos determina el punto S. La distancia de S a T es el lado del decágono. Cogemos la medida con el compás y la vamos pasando sucesivamente por la circunferencia.