sábado, 25 de septiembre de 2021

Polígonos regulares dado el lado

 


Método para construir un polígono dado el lado.  El requisito es hacer el polígono entre 6 y 12 grados.

Se hace un triángulo equilátero y se divide desde el vértice A hasta el arco verde en 6 partes iguales.Luego desde el centro C  se pasan las divisiones de esos arcos a la línea vertical que es mediatriz de la base del  triángulo AB.

Esos son los centros de las circunferencias circunscritas a los polígonos

Tenemos el centro de la primera circunferencia que pasa por los puntos AB  y cuyo centro es C.

Luego la siguiente circunferencia de centro N2 y radio también N2-A

La siguiente circunferencia tendrá por centro Q2  y radio Q2-A,  y así todas las demás.




En el caso de que el polígono tenga entre 13 y 24 lados hay que partir del ejercicio anterior y en vez de 6 divisiones hacemos 12 divisiones.

Para hacer un punto cualquiera, por ejemplo el 16  que corresponde a un polígono de 16 lados, cogemos el punto  Q2 -como el 16, que  está 4 unidades por encima de 12 sobre la vertical-, y con el radio hasta B hacemos una circunferencia que aparece en color verde en el dibujo.  Esta circunferencia corta en J5.  Este punto es el centro de la circunferencia que inscribe al polígono de 16 lados,  para cualquier punto o se obra igual.







Para construir un decágono regular basta con hacer un pentágono regular y tomar el vértice superior L2  como centro de la circunferencia cuyo radio es  L2-T1

Ésta circunferencia inscribe ya al decágono de manera que los lados de este decágono son los del Pentágono anterior





Para dibujar un eneágono regular a partir del lado hacemos un triángulo equilátero y la bisectriz por el punto M, la bisectriz corta a la vertical m3  en el punto G2.

En el vértice superior del triángulo,  en el punto E2, trazamos una circunferencia que tenga por radio E2-G2.

Ésta circunferencia corta a la prolongación de los lados en los puntos H2  e I2

Al unir ambos puntos tenemos que corta la vertical  en J2.

Ese es el centro de la circunferencia que inscribe al eneágono, por lo tanto basta con pasar el lado del triángulo inicial por toda esa circunferencia obteniendo así la figura





Para construir un octógono regular a partir del lado dibujamos un cuadrado y tomamos el centro del mismo para circunscribir una circunferencia al cuadrado. Ésta circunferencia corta a la vertical por el medio del cuadrado en el punto T2.

Éste punto T2 es el centro de la circunferencia que inscribe al octógono regular, ahora basta con pasar el lado del cuadrado por toda esa circunferencia para obtener la figura


Para construir un heptágono regular dado el lado hacemos un triángulo equilátero a partir del lado y la bisectriz que aparece en el dibujo en color roja, ésta bisectriz corta a la vertical por J en O2. Tomamos la distancia desde el vértice del triángulo I hasta O2 y hacemos la circunferencia verde que corta a la vertical por el  vértice N2 del triángulo, en el punto P2

Éste punto es el centro de la circunferencia que inscribe al heptágono regular.





Para dibujar un hexágono regular dado el lado construimos dos circunferencias verdes cuyos centros son G H y que tengan por radio la medida GH del lado dado.

La intersección de ambas circunferencias verdes es V2

 Este punto es el centro de la circunferencia roja que inscribe al hexágono regular,  a partir de aquí basta con ir pasando la medida de los lados.


Para hacer un pentágono regular dado el lado construimos a partir del mismo un cuadrado, tomando centro en el punto medio A3 del lado hacemos una circunferencia con el radio 

A3-w2,  este nuevo arco en color ocre corta a la prolongación de la base del cuadrado en B1.

La medida desde E-B1 es la diagonal del cuadrado,  por tanto podemos hacer centro en el punto E y con esa distancia hacer un arco y obtenemos la circunferencia de color salmón,  ésta  circunferencia corta a la azul de radio el del lado  en el punto R,  ya que ésta circunferencia es la del lado del Pentágono,  en consecuencia tenemos que R  es la intersección del lado con la diagonal y si tenemos ya R, el.punto T  será su simétrico respecto a la vertical Sh,  mientras que para obtener el punto S hacemos centro en R y con la distancia del lado tenemos que corta a la circunferencia salmón en el punto S.

En el Pentágono, el lado del mismo y la diagonal están en proporción áurea.


Para construir un cuadrado a partir del lado tomamos en uno de los vértices de la base una circunferencia de radio igual al lado, que corta la ortogonal por C en el punto Q,  podemos hacer la misma operación para los otros vértices y ya obtenemos la figura.



Para obtener un triángulo equilátero dado el lado, hacemos centro en los vértices A B y construimos dos circunferencias que tengan por radio la medida del lado del triángulo, ambas circunferencias  se cortan en el punto O que es el vértice buscado del triángulo equilátero. 


viernes, 15 de octubre de 2010

http://poligonos-regulares-dinamicos.blogspot.com.es/

Método general para construir un polígono regular cualquiera dada la circunferencia en la que se inscribe:
Dada la circunferencia verde de diámetro ED, hacemos un arco con centro en E y con radio DE. Hacemos otro arco con centro en D y el mismo radio DE. La intersección de ambos arcos determina el punto C.
Dividimos el diámetro en el número de lados que va a tener el polígono, en este caso 9 y trazamos desde el punto C una recta que pase por el punto 2. La intersección de esta recta azul con la circunferencia verde nos determina el lado del eneágono, que va desde ese punto a D. A partir de aquí basta con repetir esa medida del lado a través de toda la circunferencia.


Para dividir el diámetro en 9 partes iguales, proyectamos una recta incidente en A de 9 cm sobre el diámetro dado. Unimos el punto 9 con el extremo del diámetro y por el punto 2 hacemos una recta con la misma dirección, donde corte al diámetro vertical es el punto cuya división es 2/9, o sea 2 unidades de 9.

Método general dado el lado AB:
Para construir un polígono regular dado el lado hacemos uno cualquiera a partir del método anterior y lo escalamos de la siguiente forma: sobre el lado AC del polígono que hemos construido colocamos el lado AB que nos dan. Por el punto B hacemos una vertical hasta que corte a la prolongación de la recta OC. Obtenemos así el punto B’ y el radio de la nueva circunferencia roja que contiene al polígono de lado AB buscado.
Triángulo dada la circunferencia: Con el radio de la circunferencia dada desde A (intersección de la vertical con la circunferencia) y en ambos sentidos se hace un arco obteniendo B y C. El otro punto es la otra intersección con la vertical. Dada la altura: Centro en A y una circunferencia de radio aleatorio. Trazamos una horizontal por A y en los puntos de corte con la circunferencia hacemos otras 2 de igual tamaño. Los puntos de intersección BC determinan al unirlos con A los lados. Prolongamos AB y AC y donde corten a la horizontal trazada por el punto base de la altura obtenemos los otros dos puntos del triángulo. Dado el lado MO: Hacemos centro en M y en O con la longitud del lado. En la intersección de las circunferencias está el otro lado B
Cuadrado dada la circunferencia: Se traza un diámetro AB. Por el punto medio se dibuja una perpendicular, sus intersecciones D y C con la circunferencia son los otros puntos del cuadrado. Dado el lado BA: Se traza una perpendicular a BA. Con centro en A y radio AB se hace un arco, donde corta a la perpendicular es otro punto del cuadrado D. Con centro en B y radio BA y con centro en D y radio BA, obtenemos dos arcos cuya intersección es C. Pentágono Dada la circunferencia roja de radio OA: En el punto medio D del radio XO de la circunferencia dada hacemos una circunferencia ocre con el radio DA y de centro D. En la intersección de la circunferencia con la horizontal obtenemos M. Hacemos una circunferencia con centro en A y radio AM y donde corta a la dada en B y C, unimos estos puntos con A y tenemos dos lados del pentágono. Con ese radio y centro en B y C obtenemos los otros dos puntos, Pentágono dado el lado AO: Con centro en O y radio OA hacemos un arco hasta que corta a la vertical por O en T. Con centro en C radio CT hacemos otro arco asta que corta en M a la prolongación de AO. Con centro en A y radio AM hacemos un arco, donde corta a la vertical por C y donde corta al radio OT de centro O obtenemos 2 puntos del pentágono. Del último hacemos el simétrico respecto a CV y obtenemos el último punto del pentágono. AM y AO están en proporción áurea, esto es el lado y la diagonal del pentágono.

Hexágono dada la circunferencia circunscrita.
Se parte de un punto cualquiera A situado en la circunferencia. Con centro en el punto A y el radio de la circunferencia, hacemos una circunferencia que corta a ésta en B F. En estos puntos hacemos lo mismo y obtenemos los demás puntos.



Hexágono dado el lado.
Con centro en el punto A y con centro en el punto B, extremos del lado dado AB y con el radio AB, se trazan 2 circunferencias que se cortan en el punto O, centro de la circunferencia circunscrita al hexágono. Con centro en el punto O y radio OA se traza una circunferencia que corta a los dos arcos anteriores en los puntos C D, que son vértices del hexágono. Con centro en C D y radio OA se determinan sobre la circunferencia circunscrita los vértices que completan el hexágono.


Construcción del polígono de siete lados (heptágono) dado el radio de la circunferencia circunscrita. Se traza el diámetro vertical y haciendo centro en el punto de corte con la circunferencia N, y con el radio de la circunferencia dada hacemos la circunferencia azul que corta a la amarilla en dos puntos, la mitad de este segmento es la distancia PM. La distancia del punto P al punto M es el lado del heptágono que se debe tomar sobre la circunferencia para construirlo.

Construcción del heptágono regular dado el lado. Nos dan el lado OT y hacemos centro en el punto T con la distancia OT. Este arco corta a la prolongación de OT en el punto V. Hacemos centro en el punto O con la distancia OV que corta a la vertical por T en N. Hacemos la bisectriz de las líneas OV ON y donde esta recta bisectriz corte a la circunferencia roja tenemos un punto de intersección, la distancia de ese punto al centro O es el radio de la circunferencia que inscribe al heptágono. Una vez que tenemos el radio hacemos dos arcos con centro en los puntos O T, donde se corten los arcos tenemos el centro de la circunferencia amarilla por la que tomamos el lado sucesivamente siete veces sobre la misma.



Construcción del octógono regular conocido el radio de la circunferencia circunscrita.
Se trazan los diámetros horizontal y vertical y se hace la bisectriz de ambos, donde esta bisectriz corte a la circunferencia en M tenemos de la distancia de este punto al punto N, intersección del eje vertical con la circunferencia, es el lado del octógono.
Construcción del octógono regular dado el lado. Se traza una circunferencia cuyo diámetro sea el lado, corta a la vertical por el centro del lado en el punto P, se hace centro en este punto tomando como radio la distancia de él al extremo del lado dado, de esta forma hacemos la circunferencia roja que intercepta a la vertical en el centro de la circunferencia que inscribe al polígono. A partir de aquí se va tomando la medida del lado por la circunferencia.

Construcción del eneágono dado el radio de la circunferencia circunscrita. Se hace en los ejes ortogonales y donde la vertical corta a la circunferencia dada (en el punto Q) hacemos centro con el radio de la misma, de esta forma hacemos el arco amarillo que corta a la circunferencia dada en el punto R. Haciendo centro en el punto diametralmente opuesto de Q sobre la circunferencia, hacemos la circunferencia azul empezando el arco a partir del punto R hasta que corta al diámetro horizontal en el punto S. Haciendo centro en el punto S y tomando como radio la distancia SQ hacemos el arco rojo hasta que corta al diámetro horizontal en el punto N. Tomando centro en el punto P, intersección del diámetro horizontal con la circunferencia dada, y con la distancia PN hacemos el arco verde que corta a la circunferencia dada en un punto que, desde él hasta el punto P determina el lado del polígono.

Construcción del eneágono dado el lado. Nos dan el lado QO, pinchamos en esos dos puntos tomando como radio la medida del lado y construimos la circunferencia azul y amarilla. La intersección de las dos circunferencias determina el punto C. Tomamos la mitad de la longitud del segmento QO y la trasladamos hasta el punto C. Haciendo centro en el punto C y tomando como radio la mitad del segmento QO, hacemos un arco que corta a la vertical en el punto P.
P es el centro de la circunferencia en la que está inscrito el eneágono, tomamos la longitud del lado dado, y lo vamos pasando por la circunferencia.


Construcción del decágono regular dado el lado. Construimos el pentágono regular dado el lado por el método ya explicado. Hacemos la circunferencia circunscrita al mismo y las mediatrices en cada lado del pentágono regular. Donde estas mediatrices cortan a la circunferencia circunscrita, tenemos los puntos que, sumados a los del pentágono, nos determinan los vértices del decágono regular.

Construcción del decágono dado el radio de la circunferencia circunscrita.
Construimos sobre el semidiámetro vertical una circunferencia tangente a la dada en el punto M y que pase por el centro O de la misma. Unimos el centro de esta circunferencia P, con el punto T. La intersección del segmento PT con la circunferencia de centro P nos determina el punto S. La distancia de S a T es el lado del decágono. Cogemos la medida con el compás y la vamos pasando sucesivamente por la circunferencia.